Опубликовано ask at 15.08.2021 Чтобы преобразовать минимаксную задачу к задаче ЛП, сначала
рассмотрим задачу максимизации, а затем упростим терминальные
ограничения.
1) Максимум выпуклой функции на гиперкубе достигается в некоторой
его вершине или некоторых вершинах. Введем обозначения:
● V – множество всех вершин гиперкуба W ; {1,2,,||}LV ;
● (){(0),(1),,(1)}llllwwwwT – l
-ая вершина гиперкуба, lL
;
9
● 00(|,)(|,,),0,1,,1,llxtxuxtxuwtT – траектория системы под
действием управления ()u
и возмущения ()lw .
Тогда задачу можно записать в следующем виде:
100
0
()max||(|,)||||()||||(|,)||.
T
ll
tlL
JuQxtxuRutPxTxu
2) Рассмотрим терминальные ограничения. Решая систему
рекуррентных уравнений вида (1)()()(),xtAxtButMwt
0(0)xx , получаем
линейную зависимость 0(|,,)xxuw от ()wW
, которая выглядит следующим
образом
11
11
00
00
(|,,)()().
tt
ttsts
ss
xtxuwAxABusAMws
Тогда i -ое неравенство терминальных ограничений
0(|,,),iHxTxuwg
выполняется при всех возмущениях ()wW тогда и только тогда, когда
имеет место неравенство
1
1
0
0
(),
T
TTs
ii
s
HAxABusg
где значение
11
1
max1
00
max()||||
TT
Tss
iii
w
ss
HAMwswHAM
является оценкой наихудшей реализации возмущения в направлении,
задаваемом i -ой строкой матрицы H . Очевидно, что для каждого i
существует своя наихудшая реализация.